Hướng dẫn, phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ.
Bạn đang xem: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, rất hạn, nhiều loại trừ, phân chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.Tùy từng bài xích tập mà những em vận dụng một hay nhiều cách thức để giải câu hỏi phương trình nghiệm nguyên.
I. Cách thức 1 : sử dụng tính chẵn lẻ
Ví dụ 1: tìm kiếm x, y yếu tắc thoả mãn
y2 – 2x2 = 1
Hướng dẫn:
Ta gồm y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1
⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , nhưng mà x thành phần ⇒ x = 2, y = 3
Ví dụ 2: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của phương trình
(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Hướng dẫn:
Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn
2|x| + y + x2 + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ
có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x| lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0
Thay x = 0 vào phương trình ta được
(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0
⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)
Thử lại ta bao gồm x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình
II.
Xem thêm: Cách Đăng Xuất Google Trên Tất Cả Các Thiết Bị, Đăng Nhập Hoặc Đăng Xuất Khỏi Tài Khoản Google
Phương thức 2 : cách thức phân tíchThực chất là thay đổi phương trình về dạng:
g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a
Ví dụ 3: tìm nghiệm nguyên của phương trình
x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1
⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1
⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$
$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$
⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )
III. Phương thức 3 : phương pháp cực hạn
Sử dụng đối với 1 số việc vai trò của những ẩn đồng đẳng như nhau:
Ví dụ 4: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
hướng dẫn:
Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1
Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2
Vậy phương trình gồm nghiệm nguyên
(x, y) = (2; -5); (-2, 3)
Ví dụ 15: tra cứu nghiệm nguyên của phương trình
x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta tất cả phương trình bậc 2 ẩn x. Mang sử phương trình bậc 2 bao gồm 2 nghiệm x1, x2
Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$
⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$
⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23
⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 nhưng 2 = 1.2 = (-1)(-2)
⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2
thay vào phương trình ta kiếm được các cặp số
(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình
X. Phương pháp 10 : sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 16: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình
x2 –xy + y2 = 3
phía dẫn:
Ta tất cả x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$
Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0